Fonction caractéristique $$\begin{align}\phi_X:{\Bbb R}^d&\longrightarrow{\Bbb C}\\ \xi&\longmapsto E(e^{i\langle{X,\xi}\rangle })=\int_{{\Bbb R}^d}e^{i\langle{x,\xi}\rangle }\,dP_X(x)\end{align}$$

• hypothèses :
    
• \(X\) est une v.a. À valeur dans \({\Bbb R}^d\)
• c'est en fait la transformée de Fourier de la loi \(P_X\)
• \(\phi_X(0)=\) \(1\)
• \(\lvert\phi_X(\xi)\rvert\leqslant\) \(1\)
• \(\phi_X\) est uniformément continue
• \(\phi_{X_1}=\phi_{X_2}\implies\) \(P_{X_1}=P_{X_2}\)
• si \(E(\lvert X\rvert^2)\lt \infty\), alors on a un développement limité à l'ordre \(2\) : $$\phi_X(\xi)=1+iE(\langle{\xi,X}\rangle )-\frac12E(\langle{\xi,X}\rangle ^2)+o(\lvert\xi\rvert^2)$$
• des v.a. Sont indépendantes si et seulement si la fonction caractéristique de la loi conjointe est le produit des fonctions caractéristiques $$\Phi_{(X_1,\dots,X_n)}(\xi_1,\dots,\xi_n)=\prod^n_{i=1}\Phi_{X_i}(\xi_i)$$

Loi continue, Transformée de Fourier

Questions de cours

Montrer que \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes si et seulement si $$\Phi_{(X_1,\dots,X_n)}(\xi_1,\dots,\xi_n)=\prod^n_{i=1}\Phi_{X_i}(\xi_i).$$

On réécrit le membre de gauche en se souvenant que les fonctions caractéristiques sont les transformées de Fourier des lois.

On utilise Fubini pour réunir les intégrales et reconnaître la transformée de Fourier de la loi produit.

On conclut via l'injectivité de Fourier.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Masse de Dirac \(\delta_a\).
Verso: $$\Phi(t)=e^{ita}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi de Bernoulli \(\mathcal{Ber}(p)\).
Verso: $$\Phi(t)=1-p+pe^{it}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi binomiale \(\mathcal{Bin}(n,p)\).
Verso: $$\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi de Poisson \(\mathcal{Pois}(\lambda)\).
Verso: $$\phi(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi normale \(\mathcal N(\mu,\sigma^2)\).
Verso: $$\phi(t)=e^{it\mu-\frac12\sigma^2t^2}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi Gamma \(\Gamma(a,\lambda)\).
Verso: $$\phi(t)=\frac1{(1-it\lambda)^a}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la fonction caractéristique de la Loi exponentielle \(\mathcal Exp(\lambda)\).
Verso: $$\phi(t)=\frac1{1-it\frac1\lambda}=\frac\lambda{\lambda-it}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la fonction caractéristique de la Loi géométrique \(\mathcal{Géom}(p)\).
Verso: $$\phi(t)=\frac p{e^{-it}-(1-p)}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END